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Miércoles 3 de septiembre
de 2003 Lejos del descanso, las vacaciones de invierno estuvieron muy movidas en el Pabellón I. El Departamento de Computación tuvo su tradicional Escuela de Ciencias Informáticas (ECI), los físicos se reunieron para discutir temas cosmológicos en la Escuela de Invierno de Física y los matemáticos aprovecharon para realizar un Workshop y una Escuela sobre Sistemas Polinomiales. Por Carlos Borches
Prácticamente hasta allí llega el conocimiento básico que el secundario nos deja en materia de polinomios pero si nos queremos aventurar con algunas preguntas inmediatas como pueden ser ¿Cómo calcular las raíces de un polinomio cuando el grado es mayor que dos? o ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones con varias incógnitas cuando el sistema no es lineal, sino que sus incógnitas pueden ser de grado superior a uno? Bueno, allí entramos en el terreno de las ecuaciones polinómicas, un área de la matemática que durante los últimos diez años ha tenido un explosivo crecimiento de la mano de la computación y las aplicaciones que hasta no hace mucho tiempo hubieran sido insospechadas. Para aclararnos un poco el panorama en esta fracción de la frontera matemática hablamos con Alicia Dickestein, profesora del Departamento de Matemática y una de las organizadoras de los recientes encuentros sobre sistemas polinomiales. Parece extraño que aparezca un campo de investigación tan novedoso sobre un tema muy conocido como son los polinomios ¿Qué es lo nuevo en todo esto? Este campo tiene una historia larga pero recién durante la década de los '90 entró en una fase nueva con mucho empuje. Si uno se pone a ver cual es el uso de la matemática que encuentran el resto de las disciplinas se podrá notar que la mayor parte de las aplicaciones surgen en el análisis matemático. El álgebra históricamente tuvo un importante desarrollo pero no encontró, en términos generales, aplicaciones que generaran interés fuera de las matemáticas. De hecho, a la gran mayoría de ingenieros todo lo del álgebra que les alcanza es la parte de sistemas lineales para resolver sistemas de ecuaciones de varias variables de grado uno. Y cuando aparecen problemas de mayor grado los "linealizan". Claro, y eso sucede porque cuando salimos del campo de lo lineal el problema se vuelve muy complejo. Pero la cuestión es que más allá de las aplicaciones, los algebristas siguieron trabajando y obteniendo muchos resultados y allí esta como ejemplo todo lo desarrollado por la geometría algebraica desde la década del '50 a la fecha, que son cosas que no son conocidas si uno no esta metido en el tema, aunque a veces sería bueno que algunos resultados se supieran. Recuerdo una vez, en una charla de divulgación sobre polinomios en la Semana de la Matemático o Invita Exactas, se acercó un físico que estaba haciendo la tesis donde se topó con ciertas ecuaciones diferenciales. Él quería encontrar la forma de mejorar su aspecto para poder resolverlas y pasó mucho tiempo con ese problema sin encontrarle la vuelta, y la cuestión es que alcanzaba conocer ciertos resultados básicos de geometría algebraica para ver que lo que él quería no se podía hacer. Si lo hubiese sabido, se habría ahorrado mucho tiempo. ¿Qué sucedió para que todo ese conocimiento algebraico pudiera empezar a encontrar aplicaciones? Para encontrar resultados que interesaran a las otras disciplinas había que encontrar herramientas de cálculo efectivo, algoritmos que permitieran frente a un problema particular decir cuantas soluciones tenía y poder calcularlas con cierto grado de aproximación. En 1965, Bruno Buchberger abrió el primer sendero para desarrollar herramientas de cálculo efectivo con su tesis sobre Bases de Groebner, pero hubo que esperar hasta los años noventa, con el gran desarrollo de la informática, para que esos resultados pudieran plasmarse en la capacidad de resolver problemas concretos. Y esto, cabe aclarar, no era sólo por la capacidad de cálculo "bruto", sino que previamente se desarrolla procesos de cálculo simbólico y luego sí al proceso numérico. ¿Esto no le da un toque experimental a la matemática? Totalmente,
incluso Doron Zeilberger, un excéntrico matemático israelí que vive
en EE.UU., viene firmando sus papers poniéndose como coautor junto
a su computadora, Shalosh B. Ekhad. Pero más allá de algunas extravagancias,
no hay duda de que entramos en un terreno donde la matemática se vuelve
atractivamente experimental. Mi primera experiencia en ese aspecto
la tuve hace 11 años, con Bernd Sturmfels, un excelente matemático
alemán que trabaja en EE.UU. que conocí en un Congreso. Él me había
planteado una pregunta que yo me quedé pensando y cuando tuve algo
se lo comenté. A Sturmfels la idea le pareció interesante y lo que
hizo inmediatamente fue ir hasta una computadora y generar un algoritmo
donde se aplicaba ese problema, luego imprimió la secuencia de datos
y allí estaba un patrón de resultados que orientaba nuestra búsqueda.
Por supuesto, lo que quedaba pendiente es hacer la demostración y
por ahora, la computadora no nos remplaza.
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Todos
sabemos qué son los polinomios, y no se necesita demasiado para recordar
qué era el grado de un polinomio. Si dejamos pensar un poco a cualquier
persona que haya pasado por el secundario qué otras cosas recuerda
sobre los polinomios tal vez aparezca como la melodía de una canción
aquello de "menos be más menos raíz cuadrada de be cuadrado menos
cuatro a ce ...." que no es sino la forma de calcular las raíces de
un polinomio de grado dos con una única variable.